Wie kann man in die computergestützte Raumgeometrie einführen?

Sekundarstufe I (ab 9. Schuljahr)

Zuerst lernen wir die grundlegenden Objekte der räumlichen Geometrie und ihre Darstellung kennen: Punkte, Geraden, Ebenen, evtl. Kugeln werden in einem normal-axonometrischen Bild gezeichnet. Dabei setzen wir voraus, dass vorher eine zeichnerische Einführung von Hand erfolgt ist, wobei anfänglich allenfalls auch die Kavalierprojektion (Schrägbilder) verwendet worden ist. Einfache Lageaufgaben wie Parallelen- und einfache Schnittprobleme sollten auch durch Handkonstruktion gelöst werden, um das Gefühl für solche Problemstellungen zu entwickeln. Ebenfalls wird dadurch die Raumvorstellung angeregt und erleichtert später die räumliche Interpretation der Zeichnungen auf dem Bildschirm. Der eigentliche Einstieg in eine dynamische Raumgeometrie-Software kann dann so erfolgen, dass zunächst einfache Lageaufgaben mit vorgegebener Disposition gelöst werden.

1. Beispiel: (einfach!)
Gegeben: 4 Punkte A, B, C und D im Raum
Gesucht: Viereck PQRS mit Ecken in den Mittelpunkten von AB, BC, CD und DA. Was für ein Viereck erhält man?

2. Beispiel: (nicht ganz einfach!)
Gegeben: Punkt P; Gerade g(Q,R); Ebene E(U,V,W)
Gesucht: Gerade t, welche parallel zu E liegt, g schneidet und durch P geht

3. Beispiel: (eher anspruchsvoll!)
Gegeben: 4 Punkte A, B, C und D im Raum
Gesucht: 4 äquidistante Ebenen E, F, G und H, welche in dieser Reihenfolge durch die Punkte A, B, C und D gehen

Als zentral erweisen sich die Fähigkeiten, räumliche Konfigurationen zu skizzieren und den Lösungsweg zu beschreiben.
Der Einsatz des Zugmodus hilft bei der Verifikation von Lösungen!

Sekundarstufe II (ab 10. Schuljahr)

• Wir erklären zuerst, was man unter einer räumlichen Konstruktion versteht:

Eine räumliche Konstruktion erfolgt mit den Werkzeugen
• Stift (für Punkte)
• Lineal (für Geraden)
• Zirkel (für Kreise)
• Planal (für Ebenen)
• Sphärus (für Sphären bzw. Kugeloberflächen)
• Mit diesen Werkzeugen lassen sich in einem Raum-Geometrie-System (RGS) folgende Grundkonstruktionen direkt ausführen:


1. Ein Punkt kann (frei) im Raum gezeichnet werden.


2. Durch zwei Punkte kann eine Gerade gezeichnet werden.


3. Durch drei Punkte kann eine Ebene gezeichnet werden.


4. Um einen Punkt (einer Ebene) kann ein Kreis mit vorgegebenem Radius gezeichnet werden.
   Um einen Punkt (einer Ebene) kann ein Kreis durch einen Punkt gezeichnet werden.


5. Der Schnittpunkt zweier Geraden kann gezeichnet werden.
   Die Schnittpunkte zweier Kreise können gezeichnet werden.
   Die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises können gezeichnet werden.


6. Um einen Punkt kann eine Sphäre mit vorgegebenem Radius gezeichnet werden.
   Um einen Punkt kann eine Sphäre durch einen Punkt gezeichnet werden.


7. Der Schnittpunkt dreier Ebenen kann gezeichnet werden.
   Die Schnittpunkte dreier Sphären können gezeichnet werden.


8. Auf einer Geraden kann ein Punkt gezeichnet werden.
   Auf einem Kreis kann ein Punkt gezeichnet werden.
   Auf einer Ebene kann ein Punkt gezeichnet werden.
   Auf einer Sphäre kann ein Punkt gezeichnet werden.
   

Alle in einem RGS vorkommenden Operationen lassen sich auf diese Grundkonstruktionen zurückführen.

Aufgabe: Führe im Raum folgende Operationen mit Hilfe der Grunkonstruktionen 1-8 aus. Beschreibe die nötigen Schritte.

1. Geg: Punkt P, Gerade g
   Ges: Senkrechte s zu g durch P


2. Geg: Punkt P, Gerade g
   Ges: Parallele p zu g durch P


3. Geg: Punkt P, Ebene E
   Ges: Normale n zu E durch P


4. Geg: Punkt P, Gerade g
   Ges: Normalebene N zu g durch P


5. Geg: Punkt P, Ebene E
   Ges: Parallelebene F zu E durch P

Aufgabe: Führe im Raum folgende Operationen mit Hilfe der Grunkonstruktionen 1-8 und der Hilfskonstruktionen A-E aus.

1. Geg: Punkte P, Q und R
   Ges: Kreis k durch P, Q und R


2. Geg: Ebenen E1 und E2
   Ges: Schnittgerade s von E1 und E2


3. Geg: Gerade g; Ebene E
   Ges: Durchstosspunkt S von E und g


4. Geg: Gerade g; Sphäre K
   Ges: Durchstosspunkte S und S* von K und g


5. Geg: Sphären K1 und K2
   Ges: Schnittkreis k von K1 und K2


6. Geg: Punkte P und Q
   Ges: Normalebene M zu P und Q, welche durch den Mittelpunkt von P und Q geht. (Mittelnormalebene)


7. Geg: Gerade g; Ebene E
   Ges: Ebene L, welche zu E normal steht und durch g geht. (Lotebene)


8. Geg: Ebenen E1 und E2
   Ges: Ebenen F und F*, welche den Raum zwischen den Ebenen E1 und E2 je halbieren. (Winkelhalbierende Ebenen)


9. Geg: Sphären K1 und K2
   Ges: Schnittkreis k von K1 und K2

Arbeiten Sie jetzt mit einem RGS (z.B. GeometerPRO oder 3D-Geometer [nur Macintosh])